doxygen: intern/smoke tagged.
[blender.git] / intern / smoke / intern / tnt / jama_eig.h
1 /** \file smoke/intern/tnt/jama_eig.h
2  *  \ingroup smoke
3  */
4 #ifndef JAMA_EIG_H
5 #define JAMA_EIG_H
6
7
8 #include "tnt_array1d.h"
9 #include "tnt_array2d.h"
10 #include "tnt_math_utils.h"
11
12 #include <algorithm>
13 // for min(), max() below
14
15 #include <cmath>
16 // for fabs() below
17
18 using namespace TNT;
19 using namespace std;
20
21 // NT debugging
22 //static int gEigenDebug=0;
23 //if(gEigenDebug) std::cerr<<"n="<<n<<" m="<<m<<" l="<<l<<"\n"; 
24 // m has to be smaller l! in line 262
25 // gcc can get confused with abs calls, replaced by fabs
26
27 namespace JAMA
28 {
29
30 /** 
31
32     Computes eigenvalues and eigenvectors of a real (non-complex)
33     matrix. 
34 <P>
35     If A is symmetric, then A = V*D*V' where the eigenvalue matrix D is
36     diagonal and the eigenvector matrix V is orthogonal. That is,
37         the diagonal values of D are the eigenvalues, and
38     V*V' = I, where I is the identity matrix.  The columns of V 
39     represent the eigenvectors in the sense that A*V = V*D.
40     
41 <P>
42     If A is not symmetric, then the eigenvalue matrix D is block diagonal
43     with the real eigenvalues in 1-by-1 blocks and any complex eigenvalues,
44     a + i*b, in 2-by-2 blocks, [a, b; -b, a].  That is, if the complex
45     eigenvalues look like
46 <pre>
47
48           u + iv     .        .          .      .    .
49             .      u - iv     .          .      .    .
50             .        .      a + ib       .      .    .
51             .        .        .        a - ib   .    .
52             .        .        .          .      x    .
53             .        .        .          .      .    y
54 </pre>
55         then D looks like
56 <pre>
57
58             u        v        .          .      .    .
59            -v        u        .          .      .    . 
60             .        .        a          b      .    .
61             .        .       -b          a      .    .
62             .        .        .          .      x    .
63             .        .        .          .      .    y
64 </pre>
65     This keeps V a real matrix in both symmetric and non-symmetric
66     cases, and A*V = V*D.
67     
68     
69     
70     <p>
71     The matrix V may be badly
72     conditioned, or even singular, so the validity of the equation
73     A = V*D*inverse(V) depends upon the condition number of V.
74
75    <p>
76         (Adapted from JAMA, a Java Matrix Library, developed by jointly 
77         by the Mathworks and NIST; see  http://math.nist.gov/javanumerics/jama).
78 **/
79
80 template <class Real>
81 class Eigenvalue
82 {
83
84
85    /** Row and column dimension (square matrix).  */
86     int n;
87
88    int issymmetric; /* boolean*/
89
90    /** Arrays for internal storage of eigenvalues. */
91
92    TNT::Array1D<Real> d;         /* real part */
93    TNT::Array1D<Real> e;         /* img part */
94
95    /** Array for internal storage of eigenvectors. */
96     TNT::Array2D<Real> V;
97
98    /** Array for internal storage of nonsymmetric Hessenberg form.
99    @serial internal storage of nonsymmetric Hessenberg form.
100    */
101    TNT::Array2D<Real> H;
102    
103
104    /** Working storage for nonsymmetric algorithm.
105    @serial working storage for nonsymmetric algorithm.
106    */
107    TNT::Array1D<Real> ort;
108
109
110    // Symmetric Householder reduction to tridiagonal form.
111
112    void tred2() {
113
114    //  This is derived from the Algol procedures tred2 by
115    //  Bowdler, Martin, Reinsch, and Wilkinson, Handbook for
116    //  Auto. Comp., Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
117    //  Fortran subroutine in EISPACK.
118
119       for (int j = 0; j < n; j++) {
120          d[j] = V[n-1][j];
121       }
122
123       // Householder reduction to tridiagonal form.
124    
125       for (int i = n-1; i > 0; i--) {
126    
127          // Scale to avoid under/overflow.
128    
129          Real scale = 0.0;
130          Real h = 0.0;
131          for (int k = 0; k < i; k++) {
132             scale = scale + fabs(d[k]);
133          }
134          if (scale == 0.0) {
135             e[i] = d[i-1];
136             for (int j = 0; j < i; j++) {
137                d[j] = V[i-1][j];
138                V[i][j] = 0.0;
139                V[j][i] = 0.0;
140             }
141          } else {
142    
143             // Generate Householder vector.
144    
145             for (int k = 0; k < i; k++) {
146                d[k] /= scale;
147                h += d[k] * d[k];
148             }
149             Real f = d[i-1];
150             Real g = sqrt(h);
151             if (f > 0) {
152                g = -g;
153             }
154             e[i] = scale * g;
155             h = h - f * g;
156             d[i-1] = f - g;
157             for (int j = 0; j < i; j++) {
158                e[j] = 0.0;
159             }
160    
161             // Apply similarity transformation to remaining columns.
162    
163             for (int j = 0; j < i; j++) {
164                f = d[j];
165                V[j][i] = f;
166                g = e[j] + V[j][j] * f;
167                for (int k = j+1; k <= i-1; k++) {
168                   g += V[k][j] * d[k];
169                   e[k] += V[k][j] * f;
170                }
171                e[j] = g;
172             }
173             f = 0.0;
174             for (int j = 0; j < i; j++) {
175                e[j] /= h;
176                f += e[j] * d[j];
177             }
178             Real hh = f / (h + h);
179             for (int j = 0; j < i; j++) {
180                e[j] -= hh * d[j];
181             }
182             for (int j = 0; j < i; j++) {
183                f = d[j];
184                g = e[j];
185                for (int k = j; k <= i-1; k++) {
186                   V[k][j] -= (f * e[k] + g * d[k]);
187                }
188                d[j] = V[i-1][j];
189                V[i][j] = 0.0;
190             }
191          }
192          d[i] = h;
193       }
194    
195       // Accumulate transformations.
196    
197       for (int i = 0; i < n-1; i++) {
198          V[n-1][i] = V[i][i];
199          V[i][i] = 1.0;
200          Real h = d[i+1];
201          if (h != 0.0) {
202             for (int k = 0; k <= i; k++) {
203                d[k] = V[k][i+1] / h;
204             }
205             for (int j = 0; j <= i; j++) {
206                Real g = 0.0;
207                for (int k = 0; k <= i; k++) {
208                   g += V[k][i+1] * V[k][j];
209                }
210                for (int k = 0; k <= i; k++) {
211                   V[k][j] -= g * d[k];
212                }
213             }
214          }
215          for (int k = 0; k <= i; k++) {
216             V[k][i+1] = 0.0;
217          }
218       }
219       for (int j = 0; j < n; j++) {
220          d[j] = V[n-1][j];
221          V[n-1][j] = 0.0;
222       }
223       V[n-1][n-1] = 1.0;
224       e[0] = 0.0;
225    } 
226
227    // Symmetric tridiagonal QL algorithm.
228    
229    void tql2 () {
230
231    //  This is derived from the Algol procedures tql2, by
232    //  Bowdler, Martin, Reinsch, and Wilkinson, Handbook for
233    //  Auto. Comp., Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
234    //  Fortran subroutine in EISPACK.
235    
236       for (int i = 1; i < n; i++) {
237          e[i-1] = e[i];
238       }
239       e[n-1] = 0.0;
240    
241       Real f = 0.0;
242       Real tst1 = 0.0;
243       Real eps = pow(2.0,-52.0);
244       for (int l = 0; l < n; l++) {
245
246          // Find small subdiagonal element
247    
248          tst1 = max(tst1,fabs(d[l]) + fabs(e[l]));
249          int m = l;
250
251         // Original while-loop from Java code
252          while (m < n) {
253             if (fabs(e[m]) <= eps*tst1) {
254                break;
255             }
256             m++;
257          }
258
259    
260          // If m == l, d[l] is an eigenvalue,
261          // otherwise, iterate.
262    
263          if (m > l) {
264             int iter = 0;
265             do {
266                iter = iter + 1;  // (Could check iteration count here.)
267    
268                // Compute implicit shift
269
270                Real g = d[l];
271                Real p = (d[l+1] - g) / (2.0 * e[l]);
272                Real r = hypot(p,1.0);
273                if (p < 0) {
274                   r = -r;
275                }
276                d[l] = e[l] / (p + r);
277                d[l+1] = e[l] * (p + r);
278                Real dl1 = d[l+1];
279                Real h = g - d[l];
280                for (int i = l+2; i < n; i++) {
281                   d[i] -= h;
282                }
283                f = f + h;
284    
285                // Implicit QL transformation.
286    
287                p = d[m];
288                Real c = 1.0;
289                Real c2 = c;
290                Real c3 = c;
291                Real el1 = e[l+1];
292                Real s = 0.0;
293                Real s2 = 0.0;
294                for (int i = m-1; i >= l; i--) {
295                   c3 = c2;
296                   c2 = c;
297                   s2 = s;
298                   g = c * e[i];
299                   h = c * p;
300                   r = hypot(p,e[i]);
301                   e[i+1] = s * r;
302                   s = e[i] / r;
303                   c = p / r;
304                   p = c * d[i] - s * g;
305                   d[i+1] = h + s * (c * g + s * d[i]);
306    
307                   // Accumulate transformation.
308    
309                   for (int k = 0; k < n; k++) {
310                      h = V[k][i+1];
311                      V[k][i+1] = s * V[k][i] + c * h;
312                      V[k][i] = c * V[k][i] - s * h;
313                   }
314                }
315                p = -s * s2 * c3 * el1 * e[l] / dl1;
316                e[l] = s * p;
317                d[l] = c * p;
318    
319                // Check for convergence.
320    
321             } while (fabs(e[l]) > eps*tst1);
322          }
323          d[l] = d[l] + f;
324          e[l] = 0.0;
325       }
326      
327       // Sort eigenvalues and corresponding vectors.
328    
329       for (int i = 0; i < n-1; i++) {
330          int k = i;
331          Real p = d[i];
332          for (int j = i+1; j < n; j++) {
333             if (d[j] < p) {
334                k = j;
335                p = d[j];
336             }
337          }
338          if (k != i) {
339             d[k] = d[i];
340             d[i] = p;
341             for (int j = 0; j < n; j++) {
342                p = V[j][i];
343                V[j][i] = V[j][k];
344                V[j][k] = p;
345             }
346          }
347       }
348    }
349
350    // Nonsymmetric reduction to Hessenberg form.
351
352    void orthes () {
353    
354       //  This is derived from the Algol procedures orthes and ortran,
355       //  by Martin and Wilkinson, Handbook for Auto. Comp.,
356       //  Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
357       //  Fortran subroutines in EISPACK.
358    
359       int low = 0;
360       int high = n-1;
361    
362       for (int m = low+1; m <= high-1; m++) {
363    
364          // Scale column.
365    
366          Real scale = 0.0;
367          for (int i = m; i <= high; i++) {
368             scale = scale + fabs(H[i][m-1]);
369          }
370          if (scale != 0.0) {
371    
372             // Compute Householder transformation.
373    
374             Real h = 0.0;
375             for (int i = high; i >= m; i--) {
376                ort[i] = H[i][m-1]/scale;
377                h += ort[i] * ort[i];
378             }
379             Real g = sqrt(h);
380             if (ort[m] > 0) {
381                g = -g;
382             }
383             h = h - ort[m] * g;
384             ort[m] = ort[m] - g;
385    
386             // Apply Householder similarity transformation
387             // H = (I-u*u'/h)*H*(I-u*u')/h)
388    
389             for (int j = m; j < n; j++) {
390                Real f = 0.0;
391                for (int i = high; i >= m; i--) {
392                   f += ort[i]*H[i][j];
393                }
394                f = f/h;
395                for (int i = m; i <= high; i++) {
396                   H[i][j] -= f*ort[i];
397                }
398            }
399    
400            for (int i = 0; i <= high; i++) {
401                Real f = 0.0;
402                for (int j = high; j >= m; j--) {
403                   f += ort[j]*H[i][j];
404                }
405                f = f/h;
406                for (int j = m; j <= high; j++) {
407                   H[i][j] -= f*ort[j];
408                }
409             }
410             ort[m] = scale*ort[m];
411             H[m][m-1] = scale*g;
412          }
413       }
414    
415       // Accumulate transformations (Algol's ortran).
416
417       for (int i = 0; i < n; i++) {
418          for (int j = 0; j < n; j++) {
419             V[i][j] = (i == j ? 1.0 : 0.0);
420          }
421       }
422
423       for (int m = high-1; m >= low+1; m--) {
424          if (H[m][m-1] != 0.0) {
425             for (int i = m+1; i <= high; i++) {
426                ort[i] = H[i][m-1];
427             }
428             for (int j = m; j <= high; j++) {
429                Real g = 0.0;
430                for (int i = m; i <= high; i++) {
431                   g += ort[i] * V[i][j];
432                }
433                // Double division avoids possible underflow
434                g = (g / ort[m]) / H[m][m-1];
435                for (int i = m; i <= high; i++) {
436                   V[i][j] += g * ort[i];
437                }
438             }
439          }
440       }
441    }
442
443
444    // Complex scalar division.
445
446    Real cdivr, cdivi;
447    void cdiv(Real xr, Real xi, Real yr, Real yi) {
448       Real r,d;
449       if (fabs(yr) > fabs(yi)) {
450          r = yi/yr;
451          d = yr + r*yi;
452          cdivr = (xr + r*xi)/d;
453          cdivi = (xi - r*xr)/d;
454       } else {
455          r = yr/yi;
456          d = yi + r*yr;
457          cdivr = (r*xr + xi)/d;
458          cdivi = (r*xi - xr)/d;
459       }
460    }
461
462
463    // Nonsymmetric reduction from Hessenberg to real Schur form.
464
465    void hqr2 () {
466    
467       //  This is derived from the Algol procedure hqr2,
468       //  by Martin and Wilkinson, Handbook for Auto. Comp.,
469       //  Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
470       //  Fortran subroutine in EISPACK.
471    
472       // Initialize
473    
474       int nn = this->n;
475       int n = nn-1;
476       int low = 0;
477       int high = nn-1;
478       Real eps = pow(2.0,-52.0);
479       Real exshift = 0.0;
480       Real p=0,q=0,r=0,s=0,z=0,t,w,x,y;
481    
482       // Store roots isolated by balanc and compute matrix norm
483    
484       Real norm = 0.0;
485       for (int i = 0; i < nn; i++) {
486          if ((i < low) || (i > high)) {
487             d[i] = H[i][i];
488             e[i] = 0.0;
489          }
490          for (int j = max(i-1,0); j < nn; j++) {
491             norm = norm + fabs(H[i][j]);
492          }
493       }
494    
495       // Outer loop over eigenvalue index
496    
497       int iter = 0;
498                 int totIter = 0;
499       while (n >= low) {
500
501                         // NT limit no. of iterations
502                         totIter++;
503                         if(totIter>100) {
504                                 //if(totIter>15) std::cout<<"!!!!iter ABORT !!!!!!! "<<totIter<<"\n"; 
505                                 // NT hack/fix, return large eigenvalues
506                                 for (int i = 0; i < nn; i++) {
507                                         d[i] = 10000.;
508                                         e[i] = 10000.;
509                                 }
510                                 return;
511                         }
512    
513          // Look for single small sub-diagonal element
514    
515          int l = n;
516          while (l > low) {
517             s = fabs(H[l-1][l-1]) + fabs(H[l][l]);
518             if (s == 0.0) {
519                s = norm;
520             }
521             if (fabs(H[l][l-1]) < eps * s) {
522                break;
523             }
524             l--;
525          }
526        
527          // Check for convergence
528          // One root found
529    
530          if (l == n) {
531             H[n][n] = H[n][n] + exshift;
532             d[n] = H[n][n];
533             e[n] = 0.0;
534             n--;
535             iter = 0;
536    
537          // Two roots found
538    
539          } else if (l == n-1) {
540             w = H[n][n-1] * H[n-1][n];
541             p = (H[n-1][n-1] - H[n][n]) / 2.0;
542             q = p * p + w;
543             z = sqrt(fabs(q));
544             H[n][n] = H[n][n] + exshift;
545             H[n-1][n-1] = H[n-1][n-1] + exshift;
546             x = H[n][n];
547    
548             // Real pair
549    
550             if (q >= 0) {
551                if (p >= 0) {
552                   z = p + z;
553                } else {
554                   z = p - z;
555                }
556                d[n-1] = x + z;
557                d[n] = d[n-1];
558                if (z != 0.0) {
559                   d[n] = x - w / z;
560                }
561                e[n-1] = 0.0;
562                e[n] = 0.0;
563                x = H[n][n-1];
564                s = fabs(x) + fabs(z);
565                p = x / s;
566                q = z / s;
567                r = sqrt(p * p+q * q);
568                p = p / r;
569                q = q / r;
570    
571                // Row modification
572    
573                for (int j = n-1; j < nn; j++) {
574                   z = H[n-1][j];
575                   H[n-1][j] = q * z + p * H[n][j];
576                   H[n][j] = q * H[n][j] - p * z;
577                }
578    
579                // Column modification
580    
581                for (int i = 0; i <= n; i++) {
582                   z = H[i][n-1];
583                   H[i][n-1] = q * z + p * H[i][n];
584                   H[i][n] = q * H[i][n] - p * z;
585                }
586    
587                // Accumulate transformations
588    
589                for (int i = low; i <= high; i++) {
590                   z = V[i][n-1];
591                   V[i][n-1] = q * z + p * V[i][n];
592                   V[i][n] = q * V[i][n] - p * z;
593                }
594    
595             // Complex pair
596    
597             } else {
598                d[n-1] = x + p;
599                d[n] = x + p;
600                e[n-1] = z;
601                e[n] = -z;
602             }
603             n = n - 2;
604             iter = 0;
605    
606          // No convergence yet
607    
608          } else {
609    
610             // Form shift
611    
612             x = H[n][n];
613             y = 0.0;
614             w = 0.0;
615             if (l < n) {
616                y = H[n-1][n-1];
617                w = H[n][n-1] * H[n-1][n];
618             }
619    
620             // Wilkinson's original ad hoc shift
621    
622             if (iter == 10) {
623                exshift += x;
624                for (int i = low; i <= n; i++) {
625                   H[i][i] -= x;
626                }
627                s = fabs(H[n][n-1]) + fabs(H[n-1][n-2]);
628                x = y = 0.75 * s;
629                w = -0.4375 * s * s;
630             }
631
632             // MATLAB's new ad hoc shift
633
634             if (iter == 30) {
635                 s = (y - x) / 2.0;
636                 s = s * s + w;
637                 if (s > 0) {
638                     s = sqrt(s);
639                     if (y < x) {
640                        s = -s;
641                     }
642                     s = x - w / ((y - x) / 2.0 + s);
643                     for (int i = low; i <= n; i++) {
644                        H[i][i] -= s;
645                     }
646                     exshift += s;
647                     x = y = w = 0.964;
648                 }
649             }
650    
651             iter = iter + 1;   // (Could check iteration count here.)
652    
653             // Look for two consecutive small sub-diagonal elements
654    
655             int m = n-2;
656             while (m >= l) {
657                z = H[m][m];
658                r = x - z;
659                s = y - z;
660                p = (r * s - w) / H[m+1][m] + H[m][m+1];
661                q = H[m+1][m+1] - z - r - s;
662                r = H[m+2][m+1];
663                s = fabs(p) + fabs(q) + fabs(r);
664                p = p / s;
665                q = q / s;
666                r = r / s;
667                if (m == l) {
668                   break;
669                }
670                if (fabs(H[m][m-1]) * (fabs(q) + fabs(r)) <
671                   eps * (fabs(p) * (fabs(H[m-1][m-1]) + fabs(z) +
672                   fabs(H[m+1][m+1])))) {
673                      break;
674                }
675                m--;
676             }
677    
678             for (int i = m+2; i <= n; i++) {
679                H[i][i-2] = 0.0;
680                if (i > m+2) {
681                   H[i][i-3] = 0.0;
682                }
683             }
684    
685             // Double QR step involving rows l:n and columns m:n
686    
687             for (int k = m; k <= n-1; k++) {
688                int notlast = (k != n-1);
689                if (k != m) {
690                   p = H[k][k-1];
691                   q = H[k+1][k-1];
692                   r = (notlast ? H[k+2][k-1] : 0.0);
693                   x = fabs(p) + fabs(q) + fabs(r);
694                   if (x != 0.0) {
695                      p = p / x;
696                      q = q / x;
697                      r = r / x;
698                   }
699                }
700                if (x == 0.0) {
701                   break;
702                }
703                s = sqrt(p * p + q * q + r * r);
704                if (p < 0) {
705                   s = -s;
706                }
707                if (s != 0) {
708                   if (k != m) {
709                      H[k][k-1] = -s * x;
710                   } else if (l != m) {
711                      H[k][k-1] = -H[k][k-1];
712                   }
713                   p = p + s;
714                   x = p / s;
715                   y = q / s;
716                   z = r / s;
717                   q = q / p;
718                   r = r / p;
719    
720                   // Row modification
721    
722                   for (int j = k; j < nn; j++) {
723                      p = H[k][j] + q * H[k+1][j];
724                      if (notlast) {
725                         p = p + r * H[k+2][j];
726                         H[k+2][j] = H[k+2][j] - p * z;
727                      }
728                      H[k][j] = H[k][j] - p * x;
729                      H[k+1][j] = H[k+1][j] - p * y;
730                   }
731    
732                   // Column modification
733    
734                   for (int i = 0; i <= min(n,k+3); i++) {
735                      p = x * H[i][k] + y * H[i][k+1];
736                      if (notlast) {
737                         p = p + z * H[i][k+2];
738                         H[i][k+2] = H[i][k+2] - p * r;
739                      }
740                      H[i][k] = H[i][k] - p;
741                      H[i][k+1] = H[i][k+1] - p * q;
742                   }
743    
744                   // Accumulate transformations
745    
746                   for (int i = low; i <= high; i++) {
747                      p = x * V[i][k] + y * V[i][k+1];
748                      if (notlast) {
749                         p = p + z * V[i][k+2];
750                         V[i][k+2] = V[i][k+2] - p * r;
751                      }
752                      V[i][k] = V[i][k] - p;
753                      V[i][k+1] = V[i][k+1] - p * q;
754                   }
755                }  // (s != 0)
756             }  // k loop
757          }  // check convergence
758       }  // while (n >= low)
759                 //if(totIter>15) std::cout<<"!!!!iter "<<totIter<<"\n";
760       
761       // Backsubstitute to find vectors of upper triangular form
762
763       if (norm == 0.0) {
764          return;
765       }
766    
767       for (n = nn-1; n >= 0; n--) {
768          p = d[n];
769          q = e[n];
770    
771          // Real vector
772    
773          if (q == 0) {
774             int l = n;
775             H[n][n] = 1.0;
776             for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
777                w = H[i][i] - p;
778                r = 0.0;
779                for (int j = l; j <= n; j++) {
780                   r = r + H[i][j] * H[j][n];
781                }
782                if (e[i] < 0.0) {
783                   z = w;
784                   s = r;
785                } else {
786                   l = i;
787                   if (e[i] == 0.0) {
788                      if (w != 0.0) {
789                         H[i][n] = -r / w;
790                      } else {
791                         H[i][n] = -r / (eps * norm);
792                      }
793    
794                   // Solve real equations
795    
796                   } else {
797                      x = H[i][i+1];
798                      y = H[i+1][i];
799                      q = (d[i] - p) * (d[i] - p) + e[i] * e[i];
800                      t = (x * s - z * r) / q;
801                      H[i][n] = t;
802                      if (fabs(x) > fabs(z)) {
803                         H[i+1][n] = (-r - w * t) / x;
804                      } else {
805                         H[i+1][n] = (-s - y * t) / z;
806                      }
807                   }
808    
809                   // Overflow control
810    
811                   t = fabs(H[i][n]);
812                   if ((eps * t) * t > 1) {
813                      for (int j = i; j <= n; j++) {
814                         H[j][n] = H[j][n] / t;
815                      }
816                   }
817                }
818             }
819    
820          // Complex vector
821    
822          } else if (q < 0) {
823             int l = n-1;
824
825             // Last vector component imaginary so matrix is triangular
826    
827             if (fabs(H[n][n-1]) > fabs(H[n-1][n])) {
828                H[n-1][n-1] = q / H[n][n-1];
829                H[n-1][n] = -(H[n][n] - p) / H[n][n-1];
830             } else {
831                cdiv(0.0,-H[n-1][n],H[n-1][n-1]-p,q);
832                H[n-1][n-1] = cdivr;
833                H[n-1][n] = cdivi;
834             }
835             H[n][n-1] = 0.0;
836             H[n][n] = 1.0;
837             for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
838                Real ra,sa,vr,vi;
839                ra = 0.0;
840                sa = 0.0;
841                for (int j = l; j <= n; j++) {
842                   ra = ra + H[i][j] * H[j][n-1];
843                   sa = sa + H[i][j] * H[j][n];
844                }
845                w = H[i][i] - p;
846    
847                if (e[i] < 0.0) {
848                   z = w;
849                   r = ra;
850                   s = sa;
851                } else {
852                   l = i;
853                   if (e[i] == 0) {
854                      cdiv(-ra,-sa,w,q);
855                      H[i][n-1] = cdivr;
856                      H[i][n] = cdivi;
857                   } else {
858    
859                      // Solve complex equations
860    
861                      x = H[i][i+1];
862                      y = H[i+1][i];
863                      vr = (d[i] - p) * (d[i] - p) + e[i] * e[i] - q * q;
864                      vi = (d[i] - p) * 2.0 * q;
865                      if ((vr == 0.0) && (vi == 0.0)) {
866                         vr = eps * norm * (fabs(w) + fabs(q) +
867                         fabs(x) + fabs(y) + fabs(z));
868                      }
869                      cdiv(x*r-z*ra+q*sa,x*s-z*sa-q*ra,vr,vi);
870                      H[i][n-1] = cdivr;
871                      H[i][n] = cdivi;
872                      if (fabs(x) > (fabs(z) + fabs(q))) {
873                         H[i+1][n-1] = (-ra - w * H[i][n-1] + q * H[i][n]) / x;
874                         H[i+1][n] = (-sa - w * H[i][n] - q * H[i][n-1]) / x;
875                      } else {
876                         cdiv(-r-y*H[i][n-1],-s-y*H[i][n],z,q);
877                         H[i+1][n-1] = cdivr;
878                         H[i+1][n] = cdivi;
879                      }
880                   }
881    
882                   // Overflow control
883
884                   t = max(fabs(H[i][n-1]),fabs(H[i][n]));
885                   if ((eps * t) * t > 1) {
886                      for (int j = i; j <= n; j++) {
887                         H[j][n-1] = H[j][n-1] / t;
888                         H[j][n] = H[j][n] / t;
889                      }
890                   }
891                }
892             }
893          }
894       }
895    
896       // Vectors of isolated roots
897    
898       for (int i = 0; i < nn; i++) {
899          if (i < low || i > high) {
900             for (int j = i; j < nn; j++) {
901                V[i][j] = H[i][j];
902             }
903          }
904       }
905    
906       // Back transformation to get eigenvectors of original matrix
907    
908       for (int j = nn-1; j >= low; j--) {
909          for (int i = low; i <= high; i++) {
910             z = 0.0;
911             for (int k = low; k <= min(j,high); k++) {
912                z = z + V[i][k] * H[k][j];
913             }
914             V[i][j] = z;
915          }
916       }
917    }
918
919 public:
920
921
922    /** Check for symmetry, then construct the eigenvalue decomposition
923    @param A    Square real (non-complex) matrix
924    */
925
926    Eigenvalue(const TNT::Array2D<Real> &A) {
927       n = A.dim2();
928       V = Array2D<Real>(n,n);
929       d = Array1D<Real>(n);
930       e = Array1D<Real>(n);
931
932       issymmetric = 1;
933       for (int j = 0; (j < n) && issymmetric; j++) {
934          for (int i = 0; (i < n) && issymmetric; i++) {
935             issymmetric = (A[i][j] == A[j][i]);
936          }
937       }
938
939       if (issymmetric) {
940          for (int i = 0; i < n; i++) {
941             for (int j = 0; j < n; j++) {
942                V[i][j] = A[i][j];
943             }
944          }
945    
946          // Tridiagonalize.
947          tred2();
948    
949          // Diagonalize.
950          tql2();
951
952       } else {
953          H = TNT::Array2D<Real>(n,n);
954          ort = TNT::Array1D<Real>(n);
955          
956          for (int j = 0; j < n; j++) {
957             for (int i = 0; i < n; i++) {
958                H[i][j] = A[i][j];
959             }
960          }
961    
962          // Reduce to Hessenberg form.
963          orthes();
964    
965          // Reduce Hessenberg to real Schur form.
966          hqr2();
967       }
968    }
969
970
971    /** Return the eigenvector matrix
972    @return     V
973    */
974
975    void getV (TNT::Array2D<Real> &V_) {
976       V_ = V;
977       return;
978    }
979
980    /** Return the real parts of the eigenvalues
981    @return     real(diag(D))
982    */
983
984    void getRealEigenvalues (TNT::Array1D<Real> &d_) {
985       d_ = d;
986       return ;
987    }
988
989    /** Return the imaginary parts of the eigenvalues
990    in parameter e_.
991
992    @pararm e_: new matrix with imaginary parts of the eigenvalues.
993    */
994    void getImagEigenvalues (TNT::Array1D<Real> &e_) {
995       e_ = e;
996       return;
997    }
998
999    
1000 /** 
1001         Computes the block diagonal eigenvalue matrix.
1002     If the original matrix A is not symmetric, then the eigenvalue 
1003         matrix D is block diagonal with the real eigenvalues in 1-by-1 
1004         blocks and any complex eigenvalues,
1005     a + i*b, in 2-by-2 blocks, [a, b; -b, a].  That is, if the complex
1006     eigenvalues look like
1007 <pre>
1008
1009           u + iv     .        .          .      .    .
1010             .      u - iv     .          .      .    .
1011             .        .      a + ib       .      .    .
1012             .        .        .        a - ib   .    .
1013             .        .        .          .      x    .
1014             .        .        .          .      .    y
1015 </pre>
1016         then D looks like
1017 <pre>
1018
1019             u        v        .          .      .    .
1020            -v        u        .          .      .    . 
1021             .        .        a          b      .    .
1022             .        .       -b          a      .    .
1023             .        .        .          .      x    .
1024             .        .        .          .      .    y
1025 </pre>
1026     This keeps V a real matrix in both symmetric and non-symmetric
1027     cases, and A*V = V*D.
1028
1029         @param D: upon return, the matrix is filled with the block diagonal 
1030         eigenvalue matrix.
1031         
1032 */
1033    void getD (TNT::Array2D<Real> &D) {
1034       D = Array2D<Real>(n,n);
1035       for (int i = 0; i < n; i++) {
1036          for (int j = 0; j < n; j++) {
1037             D[i][j] = 0.0;
1038          }
1039          D[i][i] = d[i];
1040          if (e[i] > 0) {
1041             D[i][i+1] = e[i];
1042          } else if (e[i] < 0) {
1043             D[i][i-1] = e[i];
1044          }
1045       }
1046    }
1047 };
1048
1049 } //namespace JAMA
1050
1051
1052 #endif
1053 // JAMA_EIG_H