Cleanup: remove redundant doxygen \file argument
[blender.git] / intern / smoke / intern / tnt / jama_eig.h
1 /** \file \ingroup smoke
2  */
3 #ifndef JAMA_EIG_H
4 #define JAMA_EIG_H
5
6
7 #include "tnt_array1d.h"
8 #include "tnt_array2d.h"
9 #include "tnt_math_utils.h"
10
11 #include <algorithm>
12 // for min(), max() below
13
14 #include <cmath>
15 // for fabs() below
16
17 using namespace TNT;
18 using namespace std;
19
20 // NT debugging
21 //static int gEigenDebug=0;
22 //if(gEigenDebug) std::cerr<<"n="<<n<<" m="<<m<<" l="<<l<<"\n"; 
23 // m has to be smaller l! in line 262
24 // gcc can get confused with abs calls, replaced by fabs
25
26 namespace JAMA
27 {
28
29 /** 
30
31     Computes eigenvalues and eigenvectors of a real (non-complex)
32     matrix. 
33 <P>
34     If A is symmetric, then A = V*D*V' where the eigenvalue matrix D is
35     diagonal and the eigenvector matrix V is orthogonal. That is,
36         the diagonal values of D are the eigenvalues, and
37     V*V' = I, where I is the identity matrix.  The columns of V 
38     represent the eigenvectors in the sense that A*V = V*D.
39     
40 <P>
41     If A is not symmetric, then the eigenvalue matrix D is block diagonal
42     with the real eigenvalues in 1-by-1 blocks and any complex eigenvalues,
43     a + i*b, in 2-by-2 blocks, [a, b; -b, a].  That is, if the complex
44     eigenvalues look like
45 <pre>
46
47           u + iv     .        .          .      .    .
48             .      u - iv     .          .      .    .
49             .        .      a + ib       .      .    .
50             .        .        .        a - ib   .    .
51             .        .        .          .      x    .
52             .        .        .          .      .    y
53 </pre>
54         then D looks like
55 <pre>
56
57             u        v        .          .      .    .
58            -v        u        .          .      .    . 
59             .        .        a          b      .    .
60             .        .       -b          a      .    .
61             .        .        .          .      x    .
62             .        .        .          .      .    y
63 </pre>
64     This keeps V a real matrix in both symmetric and non-symmetric
65     cases, and A*V = V*D.
66     
67     
68     
69     <p>
70     The matrix V may be badly
71     conditioned, or even singular, so the validity of the equation
72     A = V*D*inverse(V) depends upon the condition number of V.
73
74    <p>
75         (Adapted from JAMA, a Java Matrix Library, developed by jointly 
76         by the Mathworks and NIST; see  http://math.nist.gov/javanumerics/jama).
77 **/
78
79 template <class Real>
80 class Eigenvalue
81 {
82
83
84    /** Row and column dimension (square matrix).  */
85     int n;
86
87    int issymmetric; /* boolean*/
88
89    /** Arrays for internal storage of eigenvalues. */
90
91    TNT::Array1D<Real> d;         /* real part */
92    TNT::Array1D<Real> e;         /* img part */
93
94    /** Array for internal storage of eigenvectors. */
95     TNT::Array2D<Real> V;
96
97    /** Array for internal storage of nonsymmetric Hessenberg form.
98    @serial internal storage of nonsymmetric Hessenberg form.
99    */
100    TNT::Array2D<Real> H;
101    
102
103    /** Working storage for nonsymmetric algorithm.
104    @serial working storage for nonsymmetric algorithm.
105    */
106    TNT::Array1D<Real> ort;
107
108
109    // Symmetric Householder reduction to tridiagonal form.
110
111    void tred2() {
112
113    //  This is derived from the Algol procedures tred2 by
114    //  Bowdler, Martin, Reinsch, and Wilkinson, Handbook for
115    //  Auto. Comp., Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
116    //  Fortran subroutine in EISPACK.
117
118       for (int j = 0; j < n; j++) {
119          d[j] = V[n-1][j];
120       }
121
122       // Householder reduction to tridiagonal form.
123    
124       for (int i = n-1; i > 0; i--) {
125    
126          // Scale to avoid under/overflow.
127    
128          Real scale = 0.0;
129          Real h = 0.0;
130          for (int k = 0; k < i; k++) {
131             scale = scale + fabs(d[k]);
132          }
133          if (scale == 0.0) {
134             e[i] = d[i-1];
135             for (int j = 0; j < i; j++) {
136                d[j] = V[i-1][j];
137                V[i][j] = 0.0;
138                V[j][i] = 0.0;
139             }
140          } else {
141    
142             // Generate Householder vector.
143    
144             for (int k = 0; k < i; k++) {
145                d[k] /= scale;
146                h += d[k] * d[k];
147             }
148             Real f = d[i-1];
149             Real g = sqrt(h);
150             if (f > 0) {
151                g = -g;
152             }
153             e[i] = scale * g;
154             h = h - f * g;
155             d[i-1] = f - g;
156             for (int j = 0; j < i; j++) {
157                e[j] = 0.0;
158             }
159    
160             // Apply similarity transformation to remaining columns.
161    
162             for (int j = 0; j < i; j++) {
163                f = d[j];
164                V[j][i] = f;
165                g = e[j] + V[j][j] * f;
166                for (int k = j+1; k <= i-1; k++) {
167                   g += V[k][j] * d[k];
168                   e[k] += V[k][j] * f;
169                }
170                e[j] = g;
171             }
172             f = 0.0;
173             for (int j = 0; j < i; j++) {
174                e[j] /= h;
175                f += e[j] * d[j];
176             }
177             Real hh = f / (h + h);
178             for (int j = 0; j < i; j++) {
179                e[j] -= hh * d[j];
180             }
181             for (int j = 0; j < i; j++) {
182                f = d[j];
183                g = e[j];
184                for (int k = j; k <= i-1; k++) {
185                   V[k][j] -= (f * e[k] + g * d[k]);
186                }
187                d[j] = V[i-1][j];
188                V[i][j] = 0.0;
189             }
190          }
191          d[i] = h;
192       }
193    
194       // Accumulate transformations.
195    
196       for (int i = 0; i < n-1; i++) {
197          V[n-1][i] = V[i][i];
198          V[i][i] = 1.0;
199          Real h = d[i+1];
200          if (h != 0.0) {
201             for (int k = 0; k <= i; k++) {
202                d[k] = V[k][i+1] / h;
203             }
204             for (int j = 0; j <= i; j++) {
205                Real g = 0.0;
206                for (int k = 0; k <= i; k++) {
207                   g += V[k][i+1] * V[k][j];
208                }
209                for (int k = 0; k <= i; k++) {
210                   V[k][j] -= g * d[k];
211                }
212             }
213          }
214          for (int k = 0; k <= i; k++) {
215             V[k][i+1] = 0.0;
216          }
217       }
218       for (int j = 0; j < n; j++) {
219          d[j] = V[n-1][j];
220          V[n-1][j] = 0.0;
221       }
222       V[n-1][n-1] = 1.0;
223       e[0] = 0.0;
224    } 
225
226    // Symmetric tridiagonal QL algorithm.
227    
228    void tql2 () {
229
230    //  This is derived from the Algol procedures tql2, by
231    //  Bowdler, Martin, Reinsch, and Wilkinson, Handbook for
232    //  Auto. Comp., Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
233    //  Fortran subroutine in EISPACK.
234    
235       for (int i = 1; i < n; i++) {
236          e[i-1] = e[i];
237       }
238       e[n-1] = 0.0;
239    
240       Real f = 0.0;
241       Real tst1 = 0.0;
242       Real eps = pow(2.0,-52.0);
243       for (int l = 0; l < n; l++) {
244
245          // Find small subdiagonal element
246    
247          tst1 = max(tst1,fabs(d[l]) + fabs(e[l]));
248          int m = l;
249
250         // Original while-loop from Java code
251          while (m < n) {
252             if (fabs(e[m]) <= eps*tst1) {
253                break;
254             }
255             m++;
256          }
257
258    
259          // If m == l, d[l] is an eigenvalue,
260          // otherwise, iterate.
261    
262          if (m > l) {
263             int iter = 0;
264             do {
265                iter = iter + 1;  // (Could check iteration count here.)
266    
267                // Compute implicit shift
268
269                Real g = d[l];
270                Real p = (d[l+1] - g) / (2.0 * e[l]);
271                Real r = hypot(p,1.0);
272                if (p < 0) {
273                   r = -r;
274                }
275                d[l] = e[l] / (p + r);
276                d[l+1] = e[l] * (p + r);
277                Real dl1 = d[l+1];
278                Real h = g - d[l];
279                for (int i = l+2; i < n; i++) {
280                   d[i] -= h;
281                }
282                f = f + h;
283    
284                // Implicit QL transformation.
285    
286                p = d[m];
287                Real c = 1.0;
288                Real c2 = c;
289                Real c3 = c;
290                Real el1 = e[l+1];
291                Real s = 0.0;
292                Real s2 = 0.0;
293                for (int i = m-1; i >= l; i--) {
294                   c3 = c2;
295                   c2 = c;
296                   s2 = s;
297                   g = c * e[i];
298                   h = c * p;
299                   r = hypot(p,e[i]);
300                   e[i+1] = s * r;
301                   s = e[i] / r;
302                   c = p / r;
303                   p = c * d[i] - s * g;
304                   d[i+1] = h + s * (c * g + s * d[i]);
305    
306                   // Accumulate transformation.
307    
308                   for (int k = 0; k < n; k++) {
309                      h = V[k][i+1];
310                      V[k][i+1] = s * V[k][i] + c * h;
311                      V[k][i] = c * V[k][i] - s * h;
312                   }
313                }
314                p = -s * s2 * c3 * el1 * e[l] / dl1;
315                e[l] = s * p;
316                d[l] = c * p;
317    
318                // Check for convergence.
319    
320             } while (fabs(e[l]) > eps*tst1);
321          }
322          d[l] = d[l] + f;
323          e[l] = 0.0;
324       }
325      
326       // Sort eigenvalues and corresponding vectors.
327    
328       for (int i = 0; i < n-1; i++) {
329          int k = i;
330          Real p = d[i];
331          for (int j = i+1; j < n; j++) {
332             if (d[j] < p) {
333                k = j;
334                p = d[j];
335             }
336          }
337          if (k != i) {
338             d[k] = d[i];
339             d[i] = p;
340             for (int j = 0; j < n; j++) {
341                p = V[j][i];
342                V[j][i] = V[j][k];
343                V[j][k] = p;
344             }
345          }
346       }
347    }
348
349    // Nonsymmetric reduction to Hessenberg form.
350
351    void orthes () {
352    
353       //  This is derived from the Algol procedures orthes and ortran,
354       //  by Martin and Wilkinson, Handbook for Auto. Comp.,
355       //  Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
356       //  Fortran subroutines in EISPACK.
357    
358       int low = 0;
359       int high = n-1;
360    
361       for (int m = low+1; m <= high-1; m++) {
362    
363          // Scale column.
364    
365          Real scale = 0.0;
366          for (int i = m; i <= high; i++) {
367             scale = scale + fabs(H[i][m-1]);
368          }
369          if (scale != 0.0) {
370    
371             // Compute Householder transformation.
372    
373             Real h = 0.0;
374             for (int i = high; i >= m; i--) {
375                ort[i] = H[i][m-1]/scale;
376                h += ort[i] * ort[i];
377             }
378             Real g = sqrt(h);
379             if (ort[m] > 0) {
380                g = -g;
381             }
382             h = h - ort[m] * g;
383             ort[m] = ort[m] - g;
384    
385             // Apply Householder similarity transformation
386             // H = (I-u*u'/h)*H*(I-u*u')/h)
387    
388             for (int j = m; j < n; j++) {
389                Real f = 0.0;
390                for (int i = high; i >= m; i--) {
391                   f += ort[i]*H[i][j];
392                }
393                f = f/h;
394                for (int i = m; i <= high; i++) {
395                   H[i][j] -= f*ort[i];
396                }
397            }
398    
399            for (int i = 0; i <= high; i++) {
400                Real f = 0.0;
401                for (int j = high; j >= m; j--) {
402                   f += ort[j]*H[i][j];
403                }
404                f = f/h;
405                for (int j = m; j <= high; j++) {
406                   H[i][j] -= f*ort[j];
407                }
408             }
409             ort[m] = scale*ort[m];
410             H[m][m-1] = scale*g;
411          }
412       }
413    
414       // Accumulate transformations (Algol's ortran).
415
416       for (int i = 0; i < n; i++) {
417          for (int j = 0; j < n; j++) {
418             V[i][j] = (i == j ? 1.0 : 0.0);
419          }
420       }
421
422       for (int m = high-1; m >= low+1; m--) {
423          if (H[m][m-1] != 0.0) {
424             for (int i = m+1; i <= high; i++) {
425                ort[i] = H[i][m-1];
426             }
427             for (int j = m; j <= high; j++) {
428                Real g = 0.0;
429                for (int i = m; i <= high; i++) {
430                   g += ort[i] * V[i][j];
431                }
432                // Double division avoids possible underflow
433                g = (g / ort[m]) / H[m][m-1];
434                for (int i = m; i <= high; i++) {
435                   V[i][j] += g * ort[i];
436                }
437             }
438          }
439       }
440    }
441
442
443    // Complex scalar division.
444
445    Real cdivr, cdivi;
446    void cdiv(Real xr, Real xi, Real yr, Real yi) {
447       Real r,d;
448       if (fabs(yr) > fabs(yi)) {
449          r = yi/yr;
450          d = yr + r*yi;
451          cdivr = (xr + r*xi)/d;
452          cdivi = (xi - r*xr)/d;
453       } else {
454          r = yr/yi;
455          d = yi + r*yr;
456          cdivr = (r*xr + xi)/d;
457          cdivi = (r*xi - xr)/d;
458       }
459    }
460
461
462    // Nonsymmetric reduction from Hessenberg to real Schur form.
463
464    void hqr2 () {
465    
466       //  This is derived from the Algol procedure hqr2,
467       //  by Martin and Wilkinson, Handbook for Auto. Comp.,
468       //  Vol.ii-Linear Algebra, and the corresponding
469       //  Fortran subroutine in EISPACK.
470    
471       // Initialize
472    
473       int nn = this->n;
474       int n = nn-1;
475       int low = 0;
476       int high = nn-1;
477       Real eps = pow(2.0,-52.0);
478       Real exshift = 0.0;
479       Real p=0,q=0,r=0,s=0,z=0,t,w,x,y;
480    
481       // Store roots isolated by balanc and compute matrix norm
482    
483       Real norm = 0.0;
484       for (int i = 0; i < nn; i++) {
485          if ((i < low) || (i > high)) {
486             d[i] = H[i][i];
487             e[i] = 0.0;
488          }
489          for (int j = max(i-1,0); j < nn; j++) {
490             norm = norm + fabs(H[i][j]);
491          }
492       }
493    
494       // Outer loop over eigenvalue index
495    
496       int iter = 0;
497                 int totIter = 0;
498       while (n >= low) {
499
500                         // NT limit no. of iterations
501                         totIter++;
502                         if(totIter>100) {
503                                 //if(totIter>15) std::cout<<"!!!!iter ABORT !!!!!!! "<<totIter<<"\n"; 
504                                 // NT hack/fix, return large eigenvalues
505                                 for (int i = 0; i < nn; i++) {
506                                         d[i] = 10000.;
507                                         e[i] = 10000.;
508                                 }
509                                 return;
510                         }
511    
512          // Look for single small sub-diagonal element
513    
514          int l = n;
515          while (l > low) {
516             s = fabs(H[l-1][l-1]) + fabs(H[l][l]);
517             if (s == 0.0) {
518                s = norm;
519             }
520             if (fabs(H[l][l-1]) < eps * s) {
521                break;
522             }
523             l--;
524          }
525        
526          // Check for convergence
527          // One root found
528    
529          if (l == n) {
530             H[n][n] = H[n][n] + exshift;
531             d[n] = H[n][n];
532             e[n] = 0.0;
533             n--;
534             iter = 0;
535    
536          // Two roots found
537    
538          } else if (l == n-1) {
539             w = H[n][n-1] * H[n-1][n];
540             p = (H[n-1][n-1] - H[n][n]) / 2.0;
541             q = p * p + w;
542             z = sqrt(fabs(q));
543             H[n][n] = H[n][n] + exshift;
544             H[n-1][n-1] = H[n-1][n-1] + exshift;
545             x = H[n][n];
546    
547             // Real pair
548    
549             if (q >= 0) {
550                if (p >= 0) {
551                   z = p + z;
552                } else {
553                   z = p - z;
554                }
555                d[n-1] = x + z;
556                d[n] = d[n-1];
557                if (z != 0.0) {
558                   d[n] = x - w / z;
559                }
560                e[n-1] = 0.0;
561                e[n] = 0.0;
562                x = H[n][n-1];
563                s = fabs(x) + fabs(z);
564                p = x / s;
565                q = z / s;
566                r = sqrt(p * p+q * q);
567                p = p / r;
568                q = q / r;
569    
570                // Row modification
571    
572                for (int j = n-1; j < nn; j++) {
573                   z = H[n-1][j];
574                   H[n-1][j] = q * z + p * H[n][j];
575                   H[n][j] = q * H[n][j] - p * z;
576                }
577    
578                // Column modification
579    
580                for (int i = 0; i <= n; i++) {
581                   z = H[i][n-1];
582                   H[i][n-1] = q * z + p * H[i][n];
583                   H[i][n] = q * H[i][n] - p * z;
584                }
585    
586                // Accumulate transformations
587    
588                for (int i = low; i <= high; i++) {
589                   z = V[i][n-1];
590                   V[i][n-1] = q * z + p * V[i][n];
591                   V[i][n] = q * V[i][n] - p * z;
592                }
593    
594             // Complex pair
595    
596             } else {
597                d[n-1] = x + p;
598                d[n] = x + p;
599                e[n-1] = z;
600                e[n] = -z;
601             }
602             n = n - 2;
603             iter = 0;
604    
605          // No convergence yet
606    
607          } else {
608    
609             // Form shift
610    
611             x = H[n][n];
612             y = 0.0;
613             w = 0.0;
614             if (l < n) {
615                y = H[n-1][n-1];
616                w = H[n][n-1] * H[n-1][n];
617             }
618    
619             // Wilkinson's original ad hoc shift
620    
621             if (iter == 10) {
622                exshift += x;
623                for (int i = low; i <= n; i++) {
624                   H[i][i] -= x;
625                }
626                s = fabs(H[n][n-1]) + fabs(H[n-1][n-2]);
627                x = y = 0.75 * s;
628                w = -0.4375 * s * s;
629             }
630
631             // MATLAB's new ad hoc shift
632
633             if (iter == 30) {
634                 s = (y - x) / 2.0;
635                 s = s * s + w;
636                 if (s > 0) {
637                     s = sqrt(s);
638                     if (y < x) {
639                        s = -s;
640                     }
641                     s = x - w / ((y - x) / 2.0 + s);
642                     for (int i = low; i <= n; i++) {
643                        H[i][i] -= s;
644                     }
645                     exshift += s;
646                     x = y = w = 0.964;
647                 }
648             }
649    
650             iter = iter + 1;   // (Could check iteration count here.)
651    
652             // Look for two consecutive small sub-diagonal elements
653    
654             int m = n-2;
655             while (m >= l) {
656                z = H[m][m];
657                r = x - z;
658                s = y - z;
659                p = (r * s - w) / H[m+1][m] + H[m][m+1];
660                q = H[m+1][m+1] - z - r - s;
661                r = H[m+2][m+1];
662                s = fabs(p) + fabs(q) + fabs(r);
663                p = p / s;
664                q = q / s;
665                r = r / s;
666                if (m == l) {
667                   break;
668                }
669                if (fabs(H[m][m-1]) * (fabs(q) + fabs(r)) <
670                   eps * (fabs(p) * (fabs(H[m-1][m-1]) + fabs(z) +
671                   fabs(H[m+1][m+1])))) {
672                      break;
673                }
674                m--;
675             }
676    
677             for (int i = m+2; i <= n; i++) {
678                H[i][i-2] = 0.0;
679                if (i > m+2) {
680                   H[i][i-3] = 0.0;
681                }
682             }
683    
684             // Double QR step involving rows l:n and columns m:n
685    
686             for (int k = m; k <= n-1; k++) {
687                int notlast = (k != n-1);
688                if (k != m) {
689                   p = H[k][k-1];
690                   q = H[k+1][k-1];
691                   r = (notlast ? H[k+2][k-1] : 0.0);
692                   x = fabs(p) + fabs(q) + fabs(r);
693                   if (x != 0.0) {
694                      p = p / x;
695                      q = q / x;
696                      r = r / x;
697                   }
698                }
699                if (x == 0.0) {
700                   break;
701                }
702                s = sqrt(p * p + q * q + r * r);
703                if (p < 0) {
704                   s = -s;
705                }
706                if (s != 0) {
707                   if (k != m) {
708                      H[k][k-1] = -s * x;
709                   } else if (l != m) {
710                      H[k][k-1] = -H[k][k-1];
711                   }
712                   p = p + s;
713                   x = p / s;
714                   y = q / s;
715                   z = r / s;
716                   q = q / p;
717                   r = r / p;
718    
719                   // Row modification
720    
721                   for (int j = k; j < nn; j++) {
722                      p = H[k][j] + q * H[k+1][j];
723                      if (notlast) {
724                         p = p + r * H[k+2][j];
725                         H[k+2][j] = H[k+2][j] - p * z;
726                      }
727                      H[k][j] = H[k][j] - p * x;
728                      H[k+1][j] = H[k+1][j] - p * y;
729                   }
730    
731                   // Column modification
732    
733                   for (int i = 0; i <= min(n,k+3); i++) {
734                      p = x * H[i][k] + y * H[i][k+1];
735                      if (notlast) {
736                         p = p + z * H[i][k+2];
737                         H[i][k+2] = H[i][k+2] - p * r;
738                      }
739                      H[i][k] = H[i][k] - p;
740                      H[i][k+1] = H[i][k+1] - p * q;
741                   }
742    
743                   // Accumulate transformations
744    
745                   for (int i = low; i <= high; i++) {
746                      p = x * V[i][k] + y * V[i][k+1];
747                      if (notlast) {
748                         p = p + z * V[i][k+2];
749                         V[i][k+2] = V[i][k+2] - p * r;
750                      }
751                      V[i][k] = V[i][k] - p;
752                      V[i][k+1] = V[i][k+1] - p * q;
753                   }
754                }  // (s != 0)
755             }  // k loop
756          }  // check convergence
757       }  // while (n >= low)
758                 //if(totIter>15) std::cout<<"!!!!iter "<<totIter<<"\n";
759       
760       // Backsubstitute to find vectors of upper triangular form
761
762       if (norm == 0.0) {
763          return;
764       }
765    
766       for (n = nn-1; n >= 0; n--) {
767          p = d[n];
768          q = e[n];
769    
770          // Real vector
771    
772          if (q == 0) {
773             int l = n;
774             H[n][n] = 1.0;
775             for (int i = n-1; i >= 0; i--) {
776                w = H[i][i] - p;
777                r = 0.0;
778                for (int j = l; j <= n; j++) {
779                   r = r + H[i][j] * H[j][n];
780                }
781                if (e[i] < 0.0) {
782                   z = w;
783                   s = r;
784                } else {
785                   l = i;
786                   if (e[i] == 0.0) {
787                      if (w != 0.0) {
788                         H[i][n] = -r / w;
789                      } else {
790                         H[i][n] = -r / (eps * norm);
791                      }
792    
793                   // Solve real equations
794    
795                   } else {
796                      x = H[i][i+1];
797                      y = H[i+1][i];
798                      q = (d[i] - p) * (d[i] - p) + e[i] * e[i];
799                      t = (x * s - z * r) / q;
800                      H[i][n] = t;
801                      if (fabs(x) > fabs(z)) {
802                         H[i+1][n] = (-r - w * t) / x;
803                      } else {
804                         H[i+1][n] = (-s - y * t) / z;
805                      }
806                   }
807    
808                   // Overflow control
809    
810                   t = fabs(H[i][n]);
811                   if ((eps * t) * t > 1) {
812                      for (int j = i; j <= n; j++) {
813                         H[j][n] = H[j][n] / t;
814                      }
815                   }
816                }
817             }
818    
819          // Complex vector
820    
821          } else if (q < 0) {
822             int l = n-1;
823
824             // Last vector component imaginary so matrix is triangular
825    
826             if (fabs(H[n][n-1]) > fabs(H[n-1][n])) {
827                H[n-1][n-1] = q / H[n][n-1];
828                H[n-1][n] = -(H[n][n] - p) / H[n][n-1];
829             } else {
830                cdiv(0.0,-H[n-1][n],H[n-1][n-1]-p,q);
831                H[n-1][n-1] = cdivr;
832                H[n-1][n] = cdivi;
833             }
834             H[n][n-1] = 0.0;
835             H[n][n] = 1.0;
836             for (int i = n-2; i >= 0; i--) {
837                Real ra,sa,vr,vi;
838                ra = 0.0;
839                sa = 0.0;
840                for (int j = l; j <= n; j++) {
841                   ra = ra + H[i][j] * H[j][n-1];
842                   sa = sa + H[i][j] * H[j][n];
843                }
844                w = H[i][i] - p;
845    
846                if (e[i] < 0.0) {
847                   z = w;
848                   r = ra;
849                   s = sa;
850                } else {
851                   l = i;
852                   if (e[i] == 0) {
853                      cdiv(-ra,-sa,w,q);
854                      H[i][n-1] = cdivr;
855                      H[i][n] = cdivi;
856                   } else {
857    
858                      // Solve complex equations
859    
860                      x = H[i][i+1];
861                      y = H[i+1][i];
862                      vr = (d[i] - p) * (d[i] - p) + e[i] * e[i] - q * q;
863                      vi = (d[i] - p) * 2.0 * q;
864                      if ((vr == 0.0) && (vi == 0.0)) {
865                         vr = eps * norm * (fabs(w) + fabs(q) +
866                         fabs(x) + fabs(y) + fabs(z));
867                      }
868                      cdiv(x*r-z*ra+q*sa,x*s-z*sa-q*ra,vr,vi);
869                      H[i][n-1] = cdivr;
870                      H[i][n] = cdivi;
871                      if (fabs(x) > (fabs(z) + fabs(q))) {
872                         H[i+1][n-1] = (-ra - w * H[i][n-1] + q * H[i][n]) / x;
873                         H[i+1][n] = (-sa - w * H[i][n] - q * H[i][n-1]) / x;
874                      } else {
875                         cdiv(-r-y*H[i][n-1],-s-y*H[i][n],z,q);
876                         H[i+1][n-1] = cdivr;
877                         H[i+1][n] = cdivi;
878                      }
879                   }
880    
881                   // Overflow control
882
883                   t = max(fabs(H[i][n-1]),fabs(H[i][n]));
884                   if ((eps * t) * t > 1) {
885                      for (int j = i; j <= n; j++) {
886                         H[j][n-1] = H[j][n-1] / t;
887                         H[j][n] = H[j][n] / t;
888                      }
889                   }
890                }
891             }
892          }
893       }
894    
895       // Vectors of isolated roots
896    
897       for (int i = 0; i < nn; i++) {
898          if (i < low || i > high) {
899             for (int j = i; j < nn; j++) {
900                V[i][j] = H[i][j];
901             }
902          }
903       }
904    
905       // Back transformation to get eigenvectors of original matrix
906    
907       for (int j = nn-1; j >= low; j--) {
908          for (int i = low; i <= high; i++) {
909             z = 0.0;
910             for (int k = low; k <= min(j,high); k++) {
911                z = z + V[i][k] * H[k][j];
912             }
913             V[i][j] = z;
914          }
915       }
916    }
917
918 public:
919
920
921    /** Check for symmetry, then construct the eigenvalue decomposition
922    @param A    Square real (non-complex) matrix
923    */
924
925    Eigenvalue(const TNT::Array2D<Real> &A) {
926       n = A.dim2();
927       V = Array2D<Real>(n,n);
928       d = Array1D<Real>(n);
929       e = Array1D<Real>(n);
930
931       issymmetric = 1;
932       for (int j = 0; (j < n) && issymmetric; j++) {
933          for (int i = 0; (i < n) && issymmetric; i++) {
934             issymmetric = (A[i][j] == A[j][i]);
935          }
936       }
937
938       if (issymmetric) {
939          for (int i = 0; i < n; i++) {
940             for (int j = 0; j < n; j++) {
941                V[i][j] = A[i][j];
942             }
943          }
944    
945          // Tridiagonalize.
946          tred2();
947    
948          // Diagonalize.
949          tql2();
950
951       } else {
952          H = TNT::Array2D<Real>(n,n);
953          ort = TNT::Array1D<Real>(n);
954          
955          for (int j = 0; j < n; j++) {
956             for (int i = 0; i < n; i++) {
957                H[i][j] = A[i][j];
958             }
959          }
960    
961          // Reduce to Hessenberg form.
962          orthes();
963    
964          // Reduce Hessenberg to real Schur form.
965          hqr2();
966       }
967    }
968
969
970    /** Return the eigenvector matrix
971    @return     V
972    */
973
974    void getV (TNT::Array2D<Real> &V_) {
975       V_ = V;
976       return;
977    }
978
979    /** Return the real parts of the eigenvalues
980    @return     real(diag(D))
981    */
982
983    void getRealEigenvalues (TNT::Array1D<Real> &d_) {
984       d_ = d;
985       return ;
986    }
987
988    /** Return the imaginary parts of the eigenvalues
989    in parameter e_.
990
991    @pararm e_: new matrix with imaginary parts of the eigenvalues.
992    */
993    void getImagEigenvalues (TNT::Array1D<Real> &e_) {
994       e_ = e;
995       return;
996    }
997
998    
999 /** 
1000         Computes the block diagonal eigenvalue matrix.
1001     If the original matrix A is not symmetric, then the eigenvalue 
1002         matrix D is block diagonal with the real eigenvalues in 1-by-1 
1003         blocks and any complex eigenvalues,
1004     a + i*b, in 2-by-2 blocks, [a, b; -b, a].  That is, if the complex
1005     eigenvalues look like
1006 <pre>
1007
1008           u + iv     .        .          .      .    .
1009             .      u - iv     .          .      .    .
1010             .        .      a + ib       .      .    .
1011             .        .        .        a - ib   .    .
1012             .        .        .          .      x    .
1013             .        .        .          .      .    y
1014 </pre>
1015         then D looks like
1016 <pre>
1017
1018             u        v        .          .      .    .
1019            -v        u        .          .      .    . 
1020             .        .        a          b      .    .
1021             .        .       -b          a      .    .
1022             .        .        .          .      x    .
1023             .        .        .          .      .    y
1024 </pre>
1025     This keeps V a real matrix in both symmetric and non-symmetric
1026     cases, and A*V = V*D.
1027
1028         @param D: upon return, the matrix is filled with the block diagonal 
1029         eigenvalue matrix.
1030         
1031 */
1032    void getD (TNT::Array2D<Real> &D) {
1033       D = Array2D<Real>(n,n);
1034       for (int i = 0; i < n; i++) {
1035          for (int j = 0; j < n; j++) {
1036             D[i][j] = 0.0;
1037          }
1038          D[i][i] = d[i];
1039          if (e[i] > 0) {
1040             D[i][i+1] = e[i];
1041          } else if (e[i] < 0) {
1042             D[i][i-1] = e[i];
1043          }
1044       }
1045    }
1046 };
1047
1048 } //namespace JAMA
1049
1050
1051 #endif
1052 // JAMA_EIG_H